Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của lớp 12 . chức năng

Giá trị cực đại nhỏ nhất của một hàm trên một đoạn hoặc khoảng chính xác là giá trị phải đạt được tại ít nhất một điểm trên đoạn (khoảng) đó. Có những hàm không có giá trị cực đại hoặc cực tiểu bất kể có cận trên và cận dưới trên đoạn hoặc khoảng mà chúng ta đang xét hay không.

Hàm số y = f(x) và xác định trên D:

Ký hiệu: Max f(x)= CODE

Ký hiệu: Min f(x)=m

Ta có sơ đồ sau:

2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lớp 12 . chức năng

2.1. Trên miền DỄ DÀNG

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên tập xác định D ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, sau đó dựa vào kết quả lập bảng biến thiên của hàm số để rút ra kết luận về giá trị cực đại và giá trị tối thiểu.

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số là bao nhiêu?

$y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

Ví dụ 2: Toán 12 tìm cực tiểu lớn nhất của hàm số: $y=frac{x^{2}+2x+3}{x-1}$

Phương pháp giải:

2.2. Trên một mảnh

Theo định lý ta biết rằng mọi hàm số liên tục trên một đoạn thì đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng đó. Vậy quy tắc và phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên khoảng a, b là:

Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm: $y=-frac{1}{3}x^{3}+x^{2}=2x+1$ trên đoạn $left [ -1,0 right ]$

Phần thưởng:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=frac{2x+1}{x-2}$ trên $left [ -frac{1}{2};1right ]$

Xem thêm: Tuyển tập những bài văn mẫu lớp 12 học kì 1 hay nhất tuyển chọn – Mẹo vặt

Phần thưởng:

3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và phương pháp giải Toán 12

3.1. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên một khoảng

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta làm theo các bước sau:

• Bước 1. Tìm tập xác định

• Bước 2. Tính y’ = f'(x); tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

• Bước 3. Lập bảng biến thiên

• Bước 4. Kết luận.

Lưu ý: Bạn có thể sử dụng máy tính bỏ túi để giải theo các bước sau:

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị).

• Quan sát bảng giá trị hiện tại của máy tính, giá trị lớn nhất hiện ra là max, giá trị nhỏ nhất hiện ra là min.

• Chúng tôi đặt giá trị của biến x Bắt đầu a Kết thúc b Bước $frac{ba}{19}$ (có thể làm tròn).

Chú ý: Khi bài toán liên quan đến các thừa số lượng giác sinx, cosx, tanx,… chuyển máy tính sang chế độ Rad.

Ví dụ: Cho hàm y= f(X)= $frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+z}$

Bộ xác định D=ℝ

Ta có y= f(X)= $1-frac{2x}{x^{2}+x+1}$

$Rightarrow {y}’=frac{2(x^{2}+x+1)-2x(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}$ $=frac {2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

Vậy y’= 0 $Leftrightarrow 2x^{2}-2=0 Leftrightarrow x=pm 1$

bảng biến thiên

Qua bảng biến thiên ta thấy:

$begin{matrix}maxf(x)\ mathbb{R}end{matrix} = frac{47}{30}$ tại x=1

3.2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

Xem thêm: Kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Câu 5 – Chương IV – Giải tích 12

• Bước 1: Tính f'(x)

• Bước 2: Tìm các điểm xi ∈ (a;b) tại đó f'(xi) = 0 hoặc f'(xi) không xác định

• Bước 3: Tính f(a), f(xi), f(b)

• Bước 4: Tìm số có giá trị m nhỏ nhất và số có giá trị M lớn nhất trong các số trên.

Khi đó M= max f(x) và m=min f(x) trên $left [ a,b right ]$.

Chú ý:

– Khi hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] sau đó

$left{begin{matrix} maxf(x) =f(b)& \ minf(x)=f(a)end{matrix}right.$

– Khi hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] sau đó

$left{begin{matrix} maxf(x) =f(a)& \ minf(x)=f(b)end{matrix}right.$

Ví dụ: Cho hàm $frac{x+2}{x-2}$. Giá trị của $left ( begin{matrix}min y\left [ 2;3 right ] cuối{ma trận} phải )^{2}+trái (bắt đầu{ma trận}max y\left [ 2;3 right ]kết thúc{ma trận} phải )^{2}$

bình đẳng

Chúng ta có $y’=frac{-3}{x-1}

⇒ Hàm số nghịch biến [2; 3]

Do đó $begin{matrix}min y\ left [ 2;3 right ]end{matrix}=y(3)=frac{5}{2}$

$begin{matrix}max y\ left [ 2;3 right ]cuối{ma trận}=y(2)=4$

Vì thế

3.3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của ẩn phụ

– Nếu t= sinx hoặc t= cosx -1 ≤ t 1

Xem thêm: Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 18 SGK Hình học 12 – Giaibaitap.me

– Nếu t= |cosx| hoặc $t=cos^{2}x$ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu t=|sinx| hoặc $t=sin^{2}x$ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu t = sinx ± cosx = $sqrt{2}sin(xpm frac{pi }{4})Rightarrow -sqrt{2}leqslant tleqslant sqrt{2}$

• Tìm điều kiện của ẩn phụ và đặt ẩn phụ

• Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số theo ẩn số phụ

• Kết luận

Ví dụ: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2cos2x + 2sinx là bao nhiêu?

Ta có y= f(x) = 2(1 – 2sin2x) + 2sinx = -4sin2x + 2sinx + 2

Đặt t = sin x, t [-1; 1]ta được y = -4t2 + 2t +2

Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ t = $frac{1}{4}$ ∈ (-1; 1)

Vì $left{begin{matrix}y(-1)=-4\y(1)=0 \y(frac{1}{4})=frac{9}{4}end{matrix}right.$ nên M = 94; m = -4

3.4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi cho một đồ thị hoặc một biến

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R là bao nhiêu, với điều kiện f(-4) > f(8)?

Phần thưởng

Ví dụ 2: Cho đồ thị như hình bên dưới và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3]

Phần thưởng

Từ đồ thị suy ra: m = f(2) = -2, M = f(3) = 3;

Vậy M – m = 5

Hi vọng bài viết trên sẽ giúp các bạn học sinh bổ sung thêm kiến ​​thức cũng như lý thuyết về 12 giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong quá trình ôn thi THPT quốc gia. Các bạn có thể truy cập Vuihoc.vn để tham gia các khóa học dành cho học sinh lớp 12 nhé!