Cực Trị Của Hàm Số

Xem tất cả tài liệu Lớp 12: đây

Xem thêm sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12
• SGK hình học 12
• SGK Giải tích 12 nâng cao
• SGK Hình Học 12 Nâng Cao
• Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Toán lớp 12 nâng cao
• Sách bài tập giải tích lớp 12
• Sách bài tập Giải tích lớp 12 nâng cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách Giải Toán 12 bài 2: Cực trị của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận logic và logic, hình thành năng lực vận dụng kết quả. kiến thức toán học trong cuộc sống và trong các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Giải tích 12 Bài 2 trang 13: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), chỉ ra điểm mà mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x2 + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x/3(x+ 3)2 trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

Câu trả lời:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4/3.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Câu trả lời:

Với x > 0 ta có f'(xo+ ).

Với x f'(xo- ).

Vậy f'(xo) = 0.

Trả lời câu hỏi Giải tích 12 Bài 2 trang 14: a) Dùng đồ thị xét các hàm số sau có cực trị hay không?

• y = -2x + 1;

• y = x/3(x-3)2 (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại của cực trị và dấu của đạo hàm.

Câu trả lời:

a, Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số y = x/3(x-3)2 có cực đại tại x = 1 và cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có một cực trị thì dấu của các đạo hàm trái phải của điểm cực trị sẽ khác dấu.

Câu trả lời:

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Nhưng dựa trên đồ thị của hàm y = |x|. Ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Trả lời câu hỏi Giải tích 12 Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, tìm các điểm cực trị của hàm số sf(x) = x(x^2 – 3).

Câu trả lời:

1. Chi phí sinh hoạt: Đ = RẺ

2. f'(x) = 3x^2 – 3. Cho f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị lớn nhất bằng 2

Hàm số có cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2×3 + 3×2 – 36x – 10

Xem thêm: Bài 21 trang 12 SGK toán tập 1 – Giải chi tiết và đáp án – Kien Guru

Câu trả lời:

Một) TXĐ : Đ = RẺ

y’ = 6×2 + 6x – 36

y’ = 0 x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCD = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) TXĐ : Đ = RẺ

y’= 4×3 + 4x = 4x(x2 + 1) = 0;

y’ = 0 x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có cực tiểu tại x = 0; yCT = -3

Hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: Đ = R{0}

y’ = 0 x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCD = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2 .

d) TXĐ : Đ = RẺ

y’= (x3)’.(1 – x)2 + x3.[(1 – x)2]’

= 3×2.(1 – x)2 + x3.2(1 – x).(1 – x)’

= 3×2(1 – x)2 – 2×3(1 – x)

= x2.(1 – x)(3 – 5x)

y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1.

(Chú ý: x = 0 không phải là một cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D=R.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, tìm các cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 – 2×2 + 1 ;

Xem thêm: Soạn bài Đất Nước (Nguyễn Khoa Điềm) | Nhà soạn nhạc xuất sắc nhất 12

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x5 – x3 – 2x + 1

Câu trả lời:

a) TXĐ: Đ = R .

+ y’ = 4×3 – 4x

y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

+ y” = 12×2 – 4

y”(0) = -4

y”(1) = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y”(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) Chi phí sinh hoạt: D = RẺ

+ y’ = 2cos2x – 1;

+ y” = -4.sin2x

⇒ (k ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số.

⇒ (k ∈ Z) là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) Chi phí sinh hoạt: D = RẺ

+ y’ = cos x – sin x.

+ y” = -sin x – cos x =

⇒ là các điểm cực đại của hàm số.

⇒ là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) Chi phí sinh hoạt: D = RẺ

+ y’= 5×4 – 3×2 – 2

y’ = 0 5×4 – 3×2 – 2 = 0

⇔ x = ±1.

+ y” = 20×3 – 6x

y”(-1) = -20 + 6 = -14

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y”(1) = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn có cực tiểu tại điểm đó.

Câu trả lời:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

+ Chứng minh hàm không có đạo hàm tại x = 0.

Xem thêm: Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm Toán 12 có đáp án và lời giải

Xem xét giới hạn :

⇒Không có giới hạn

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa vào định nghĩa).

Ta có: f(x) > 0 = f(0) với x ∈ (-1 ; 1) và x 0

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì hàm số

y = x3 – mx2 – 2x + 1

luôn có cực đại và cực tiểu.

Câu trả lời:

TXĐ : Đ = RẺ

+ y’ = 3×2 – 2mx – 2

y’ = 0 ⇔ 3×2 – 2mx – 2 = 0

+ y” = 6x – 2m.

⇒ là một điểm cực đại của hàm số.

⇒ là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12): Tìm a, b để các điểm cực trị của hàm số

đều trừ dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

Câu trả lời:

TXĐ: Đ=R.

+ y’ = 5a2x2 + 4ax – 9.

⇒ y” = 10a2x + 4a.

– Nếu a = 0 thì y’ = -9

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

– Nếu a ≠ 0.

Các cực trị của hàm đều dương

Các cực trị của hàm đều dương

Vì thế hoặc là các giá trị bắt buộc.

Bài 6 (trang 18 SGK Giải tích 12): Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Câu trả lời:

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1 .

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m–1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.